جمع برداری

بردار یک پاره‌خط جهت‌دار است که به دو روش می‌توان آن‌ را نام‌گذاری کرد:

  • با دو حرف بزرگ انگلیسی

                      \inline \underset{AB}{\rightarrow}

  • با یک حرف کوچک انگلیسی

                        \inline \underset{a}{\rightarrow}

روش‌های مشخص‌کردن بردار

دو روش کلی برای این منظور وجود دارد:

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

روش اول:

در این حالت با داشتن مختصات دو نقطه‌ی ابتدایی و انتهایی بردار آن‌ را رسم می‌کنیم، به این شکل که اول نقطه‌ی ابتدایی را روی محور مختصات مشخص می‌کنیم و بعد نقطه‌ی انتهایی را روی محور مختصات پیدا می‌کنیم. از نقطه‌ی ابتدایی به نقطه‌ی انتهایی پاره‌خطی جهت دار رسم می‌کنیم که انتهای بردار به سمت نقطه‌ی انتهایی باشد.

  • مختصات ابتدای بردار
  • مختصات انتهای بردار

مثال: اگر بدانیم مختصات A، \inline [_{2}^{4}] و مختصات B، \inline [_{-3}^{2}] است، بردار \inline \underset{AB}{\rightarrow}را رسم کنید.

حل: در \inline \underset{AB}{\rightarrow}، نقطه‌ی A، ابتدای بردار و  B انتهای آن است.

\underset{AB}{\rightarrow}=B-A=[_{-3}^{2}]-[_{2}^{4}]

روش دوم:

اگر طول بردار و مختصات یکی از دو نقطه‌ی ابتدایی و انتهایی آن‌ را داشته باشیم به این ترتیب عمل می‌کنیم: مثلا با داشتن طول و نقطه‌ی ابتدایی اول روی محور نقطه‌ی ابتدایی را پیدا می‌کنیم سپس به اندازه‌ی طول بردار از نقطه‌ی ابتدایی جابه‌جا می‌شویم.

  • با معلوم بودن طول بردار
  • و مختصات یکی از نقاط ابتدایی یا انتهایی آن

مثال: اگر بدانیم \inline \underset{AB}{\rightarrow}، \inline [_{-5}^{-2}] است و مختصات A، \inline [_{2}^{4}] بردار \inline \underset{AB}{\rightarrow} را رسم کنید.

حل: از نقطه‌ی A شروع می‌کنیم دو واحد به سمت چپ و سپس ۵ واحد به سمت پایین حرکت می‌کنیم.

جمع برداری با روش هندسی

جمع برداری با روش مثلثی

در این روش بردارها را پشت سر هم رسم می‌کنیم و بردار برآیند از وصل کردن ابتدای بردار اول به انتهای بردار آخر به دست می‌آید!

مثال: جمع دو بردار \inline \underset{a}{\rightarrow}و \inline \underset{b}{\rightarrow} را به روش هندسی حساب کنید.

حل: از یک نقطه‌ی دلخواه اول بردار\inline \underset{a}{\rightarrow}و بعد به دنبال آن بردار\inline \underset{b}{\rightarrow} را رسم می‌کنیم. از ابتدای بردار اول به انتهای بردار آخر وصل می‌کنیم.

مثال: جمع بردارهای\inline \underset{a}{\rightarrow}و\inline \underset{b}{\rightarrow}و \inline \underset{c}{\rightarrow}و \inline \underset{d}{\rightarrow} را به روش هندسی حساب کنید.

جمع برداری خاصیت جابه‌جایی دارد یعنی مهم نیست با چه ترتیبی جمع را انجام بدهیم فقط لازم است بردارها پشت سر هم باشند!

جمع بردارهای متوالی بردار صفر است!

هر موقع چندین بردار پشت سر هم طوری قرار بگیرند که یک شکل بسته‌ی هندسی ایجاد شود برآیند آنها صفر است.

جمع هندسی بردارها با روش متوازی‌الاضلاع

در این روش دو بردار را از یک نقطه‌ی دلخواه رسم می‌کنیم (ابتدای دو بردار باید از یک نقطه باشد)، سپس یک متوازی‌الاضلاع تشکیل داده قطرش را رسم می‌کنیم. این قطر همان بردار برآیند است!

مثال: جمع دو بردار \inline \underset{a}{\rightarrow}و \inline \underset{b}{\rightarrow}را به روش هندسی متوازی‌الاضلاع حساب کنید.

همانطوری‌ که میبینیم اول بردار رسم شده و از ابتدای بردار بردار کشیده شده. با رسم خطوطی موازی با این دو بردار و پیدا شدن محل تلاقی متوازی‌الاضلاعی ساخته شده که با رسم قطرش بردار برآیند به دست می‌آید.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

جمع بردارها با روش جبری

کافی است تمامی طول‌ها را با هم و تمامی عرض‌ها را با هم جمع کنیم.

مثال: اگر بدانیم\inline \underset{a}{\rightarrow} ، \inline [_{-5}^{-2}] ،\inline \underset{b}{\rightarrow} ، \inline [_{-10}^{2}] ، \inline \underset{c}{\rightarrow} ، \inline [_{15}^{8}] هستند مختصات بردار برآیند این سه بردار را بیابید.

[_{0}^{8}]=[_{-5-10+15}^{-2+2+8}]=[_{15}^{8}]+[_{-10}^{2}][_{-5}^{-2}]+

تفاضل بردارها

در این روش دو بردار را از یک نقطه‌ی دلخواه رسم می‌کنیم (ابتدای دو بردار باید از یک نقطه باشد)، سپس انتهای بردار دومی را به انتهای بردار اولی وصل می‌کنیم.

مثال: حاصل \inline \underset{a}{\rightarrow}-\underset{b}{\rightarrow}  را به روش هندسی حساب کنید.

دو برداری که موازی، هم‌جهت و هم‌اندازه باشند با هم مساوی یا هم‌سنگ هستند.

بردار\inline \underset{b}{\rightarrow}و بردار\inline \underset{a}{\rightarrow} موازی، هم‌جهت و هم‌اندازه هستند پس مساوی یا هم‌سنگ هستند.

بردار\inline \underset{c}{\rightarrow}و بردار \inline \underset{a}{\rightarrow} موازی و هم‌اندازه هستند اما هم‌جهت نیستند پس مساوی یا هم‌سنگ نیستند.

بردار و بردار  موازی و هم‌جهت هستند اما هم‌اندازه نیستند پس مساوی یا هم‌سنگ نیستند.

دو برداری که موازی و هم‌اندازه اما در خلاف جهت هم باشند قرینه‌ی یک‌دیگر هستند.

بردار\inline \underset{b}{\rightarrow} و بردار\inline \underset{a}{\rightarrow}موازی و هم‌اندازه هستند اما خلاف جهت نیستند پس قرینه‌ی یکدیگر نیستند.

بردار\inline \underset{c}{\rightarrow} و بردار\inline \underset{a}{\rightarrow}موازی، هم‌اندازه و خلاف جهت هستند پس قرینه‌ی یکدیگر هستند.

بردار\inline \underset{d}{\rightarrow}  و بردار \inline \underset{a}{\rightarrow} موازی و خلاف جهت هستند اما هم‌اندازه نیستند پس قرینه‌ی یکدیگر نیستند.

ضرب عدد در بردار

در ضرب یک عدد در بردار، آن عدد هم در طول و هم در عرض بردار ضرب می‌شود.

m \times [_{y}^{x}]=[_{m \times y}^{m \times x}]

مثال: اگر بدانیم\inline \underset{a}{\rightarrow}، [_{-5}^{-2}] ،\inline \underset{b}{\rightarrow}=2 \underset{a}{\rightarrow}  را بیابید.

حل:

\underset{b}{\rightarrow}=2\underset{a}{\rightarrow}=2 \times[_{-5}^{-2}]=[_{2 \times(-5)}^{2 \times (-2)}]=[_{-10}^{-4}]

تجزیه‌ی بردار بر روی دو محور دلخواه

برای تجزیه‌ی یک بردار کافی است از انتهای بردار به موازات دو محور رسم کنیم، جایی که محور یا امتداد محور با خطوطی که به موازاتشان رسم شده را قطع کنند را مشخص می‌کنیم.

مثال: بردار آبی را در راستای دو محور طوسی تجزیه کنید.