در این بخش قصد داریم تا با روند رسم دو تابع مهم مثلثاتی، سینوس و کسینوس، آشنا شویم و بعد از یادآوری قوانین رسم نمودار با انتقال سوال‌های متفاوتی حل کنیم.

تابع مثلثاتی سینوس

اگر زاویه‌ها را بر روی محور طول و سینوس هر کدام از آن زاویه‌ها را بر روی محور عرض‌ها مشخص کنیم و نقاط به دست آمده را به هم وصل کنیم نمودار سینوس به دست می‌آید. هرچه زاویه‌های بیشتری را برای رسم انتخاب کنیم نموداری که به دست می‌آید دقیق‌تر است. در جدول زیر تعدادی از زاویه‌های معروف و سینوس آنها آورده شده‌اند.

و نمودار سینوس به شکل زیر است.

با ادامه دادن روندی که توضیح داده شد می‌توانیم نمودار سینوس را برای بازه‌ی مورد نظرمان رسم کنیم، با رسم این نمودار میبینیم که:

نمودار سینوس در بازه‌ی \inline 2\pi شکل منحصر به فردی دارد در حالی‌که بعد از این بازه شکل آن به صورت متناوب تکرار می‌شود به همین علت دوره‌ی تناوب این تابع \inline 2\pi است. باقی اطلاعاتی که از نمودار سینوس متوجه می‌شویم هم به صورت زیر است:

دامنه                           مجموعه‌ی اعداد حقیقی

برد                              [۱,۱-]

دوره تناوب                   2\pi

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

تابع مثلثاتی کسینوس

اگر زاویه‌ها را بر روی محور طول و این مرتبه کسینوس هر کدام از آن زاویه‌ها را بر روی محور عرض‌ها مشخص کنیم و نقاط به دست آمده را به هم وصل کنیم نمودار کسینوس به دست می‌آید. هرچه زاویه‌های بیشتری را برای رسم انتخاب کنیم نموداری که به دست می‌آید دقیق تر است. در جدول زیر تعدادی از زاویه‌های معروف و کسینوس آنها آورده شده‌اند.

و نمودار کسینوس به شکل زیر می‌شود.

با ادامه دادن روندی که توضیح داده شد می‌توانیم نمودار کسینوس را برای بازه‌ی مورد نظرمان رسم کنیم، با رسم این نمودار میبینیم که:

نمودار کسینوس در بازه‌ی \inline 2\pi شکل منحصر به فردی دارد در حالی‌که بعد از این بازه شکل آن به صورت متناوب تکرار می‌شود به همین علت دوره‌ی تناوب این تابع \inline 2\pi است. باقی اطلاعاتی که از نمودار کسینوس متوجه می‌شویم هم به صورت زیر است:

دامنه                           مجموعه‌ی اعداد حقیقی

برد                              [۱,۱-]

دوره تناوب                   2\pi

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

در ادامه می‌خواهیم قوانین مربوط به انتقال تابع را مرور کنیم:

انتقال در محور طول‌ها

به اندازه‌ی  واحدبه سمت چپ محور                                             f(x+d)

به اندازه‌ی  واحد به سمت راست محور                                          f(x-d)

طول تمام نقاط نمودار \inline \frac{1}{a}\times                                                           f(ax)

با دقت به نمودار زیر بهتر می‌توانیم مطالب گفته شده را یاد بگیریم:

انتقال در محور عرض‌ها

به اندازه‌ی  واحد به سمت بالا محور                                               f(x)+d

به اندازه‌ی  واحد به سمت پایین محور                                            f(x)-d

عرض تمام نقاط نمودار ×                                                              af(x)

با دقت به نمودار زیر بهتر می‌توانیم مطالب گفته شده را یاد بگیریم:

مثال: شکل زیر قسمتی از نمودار \inline y=asin\pi (\frac{1}{2}+bx) است. abچند است؟ (سراسری ۹۲)

مرحله‌ی اول: ابتدا کمان تابع را ساده‌تر می‌کنیم.

مرحله‌ی دوم: حداکثر مقدار  را بررسی می‌کنیم.

وقتی مجددا نمودار صورت سوال را بررسی کنیم می‌بینیم که در بازه‌ی \inline x=-2.5 تا \inline x=3.5 نمودار سه مرتبه تکرار شده:

مرحله‌ی سوم: دوره‌ی تناوب تابع را بررسی می‌کنیم.

نکته:

دوره‌ی تناوب تابع sin(ax)                                                    \inline 2\pi /\left | a \right |

دوره‌ی تناوب تابع cos(ax)                                                   \inline 2\pi /\left | a \right |

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال: نمودار \inline y=3sin(x-\frac{\pi }{3}) را رسم کنید و دامنه و برد آن را بیابید.

 

 

 

 

دامنه                                                مجموعه‌ی اعداد حقیقی

برد                                                   [۳,۳-]

مثال: اگر حداکثر تابع، ۸ باشد مقدار k را بیابید.

راه دوم: حداکثر \inline sin\pi x=1

 

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو