مثلثات بخش دوم

مثلثات بخش دوم نسبت‌های مثلثاتی برخی از زوایا

اول از همه لازم است که علامت نسبت‌های مثلثاتی در نواحی چهارگانه‌ی دایره‌ی مثلثاتی را دوره کنیم:

همانطوریکه از شکل‌های بالا میبینیم:

در ربع اول همه‌ی نسبت‌های مثلثاتی مثبت هستند.

در ربع دوم تنها سیسنوس مثبت است و باقی نسبت‌های مثلثاتی منفی هستند.

در ربع سوم تانژانت و هم‌چنین کتانژانت مثبت هستند و سینوس و کسینوس زاویه منفی هستند.

در ربع چهارم تنها کسینوس مثبت است و باقی نسبت‌های مثلثاتی منفی هستند.

می‌توانیم کلمه‌ی هستک را به خاطر بسپاریم، که هرحرفش نسبت مثلثاتی مثبت در ربع اول تا ربع چهارم دایره‌ی مثلثاتی است.

در جدول زیر خلاصه‌ی علامت نسبت‌های مثلثاتی در هر کدام از ربع‌های دایره‌ی مثلثاتی را می‌بینیم.

چهارم $\inline \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$	سوم $\inline \pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$	دوم $\inline \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$	اول $\inline 0<\alpha <\frac{\pi }{2}$	ربع نسبت مثلثاتی
–	–	+	+	$\inline sin\alpha$
+	–	–	+	$\inline cos\alpha$
–	+	–	+	$\inline tan\alpha$
–	+	–	+	$\inline cot\alpha$

هم‌چنین نسبت‌های مثلثاتی برخی از زاویه‌ها را باید به خاطر داشته باشیم:

بعضی اوقات با زاویه‌هایی سر و کار داریم که می‌توانیم ساده‌ترشان کنیم مثلا از دل زاویه‌ای که به ما داده شده ضریب ۹۰ درجه یا ۱۸۰ درجه بیرون بیاریم. در ادامه می‌خواهیم یاد بگیریم که چه جوری این زاویه‌ها را ساده‌تر کنیم.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

حالت اول:

ضرایب زوج $\LARGE \pi$

اگر زاویه‌ی ما طوری بود که زوایای زوج $\inline \LARGE \pi$ در آن وجود داشت می‌توانیم این زوایای زوج $\inline \LARGE \pi$ را حذف کنیم و در این حالت هیچ کدام از نسبت‌های مثلثاتی نیز تغییری نمی‌کنند. یعنی:

$sin(2k\pi +\theta )=sin\theta$

$cos(2k\pi +\theta )=cos\theta$

$tan(2k\pi +\theta )=tan\theta$

$cot(2k\pi +\theta )=cot\theta$

مثال: مقدار نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را حساب کنید.

$\large tan(\frac{23\pi }{3})= tan(8\pi -\frac{\pi }{3})=tan(-\frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}$

یعنی اول ضریب‌های زوج $\inline \LARGE \pi$ را از زاویه جدا کردیم، با حذف این ضرایب زوج $\inline \LARGE \pi$ باید $\inline \large tan(-\frac{\pi }{3})$ را حساب می‌کردیم، با در نظر گرفتن دایره‌ی مثلثاتی $\inline \large -\frac{\pi }{3}$ در ربع چهارم دایره‌ی مثلثاتی است. در این ربع تانژانت منفی است.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال: مقدار نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را حساب کنید.

زاویه‌ی $\inline 315^{\circ}$ را می‌توانیم به شکل $\inline 360^{\circ}-45^{\circ}$ بنویسیم، با حذف کردن $\inline 360^{\circ}$ که ضریب زوج $\inline \LARGE \pi$ است، باید $\inline cos(-45^{\circ})$ را حساب کنیم. با توجه به دایره‌ی مثلثاتی این زاویه در ربع چهارم است و کسینوس مثبت و مساوی با $\inline cos45^{\circ}$ دارد.

حالت دوم:

ضرایب فرد $\inline \LARGE \pi$

اگر زاویه طوری بود که زاویه‌ی فرد $\inline \LARGE \pi$ در آن وجود داشت: اجازه داریم بدون آنکه جنس نسبت مثلثاتی عوض بشود آن ضریب $\inline \LARGE \pi$ را حذف کنیم. در این حالت باید حتما حتما حواسمان به علامت نسبت مثلثاتی باشد!

$\large tan(120^{\circ})= tan(180^{\circ}-60^{\circ})=-tan(60^{\circ})=-\sqrt{3}$

زاویه‌ی $\inline 120^{\circ}$ را به شکل $\inline 180^{\circ}-60^{\circ}$ می‌نویسیم. زاویه در ربع دوم قرار دارد یعنی علامت تانژانت آن منفی است، با در نظر گرفتن علامت منفی برای تانژانت زاویه ضریب فرد $\inline \LARGE \pi$ را حذف می‌کنیم. حالا کافی است $\inline -tan60^{\circ}$ را حساب کنیم.

مثال:

$\large sin(7\pi +\frac{\pi }{6})=sin(6\pi +\pi +\frac{\pi }{6})=sin(\pi +\frac{\pi }{6})=-sin(\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}$

در این مثال مضرب فرد $\inline \large \pi$ یعنی $\inline \large 7\pi$ را داریم، می‌توانیم $\inline \large 7\pi =6\pi +\pi$ در نظر بگیریم، یعنی سه دور کامل در دایره‌ی مثلثاتی به همراه یک نصف دور، با حذف $\inline \large 6\pi$ زاویه به $\inline \large \pi +\frac{\pi }{6}$ تبدیل می‌شود. که در ربع سوم قرار دارد می‌دانیم در این ربع علامت سینوس منفی است پس را حذف می‌کنیم اما علامت منفی را برای سینوس نگه می‌داریم.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

نکته: دو زاویه که جمعشان $\inline \pi$ بشود، مکمل یکدیگر نامیده می‌شوند.

حالت سوم:

ضرایب فرد $\inline \LARGE \frac{\pi }{2}$

اگر زاویه حاوی مضرب فرد $\inline \large \frac{\pi }{2}$ باشد، در این حالت بعد از حذف ضریب فرد $\inline \large \frac{\pi }{2}$ علاوه بر اینکه باید به علامت نسبت مثلثاتی دقت کنیم باید جنس نسبت مثلثاتی را هم تغییر بدهیم. یعنی سینوس به کسینوس و بالعکس، تانژانت به کتانژانت و بالعکس آن تبدیل می‌شود.

مثال:

$\large tan(120^{\circ})= tan(90^{\circ}+30^{\circ})=-cot(30^{\circ})=-\sqrt{3}$

یکبار دیگر با هم به مثال $\inline tan120^{\circ}$ برمی‌گردیم، این سری این زاویه را به شکل $\inline 90^{\circ}+30^{\circ}$ می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

زاویه‌ی $\inline 90^{\circ}+30^{\circ}$ در ربع دوم دایره‌ی مثلثاتی قرار دارد که در این ربع علامت تانژانت منفی است.
وقتی که $\inline 90^{\circ}$ را حذف کردیم باید جنس نسبت مثلثاتی را هم عوض کنیم پس تانژانت به کتانژانت تبدیل می‌شود.

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده $\inline -cot30^{\circ}$ را حساب می‌کنیم.

مثال:

$\large tan(225^{\circ})=tan(270^{\circ}-45^{\circ})=cot(45^{\circ})=1$

زاویه را به شکل $\inline 270^{\circ}-45^{\circ}$ می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

زاویه‌ی $\inline 270^{\circ}-45^{\circ}$ در ربع سوم دایره‌ی مثلثاتی قرار دارد که در این ربع علامت تانژانت مثبت است.
وقتی که $\inline 270^{\circ}$ را حذف کردیم باید جنس نسبت مثلثاتی را هم عوض کنیم پس تانژانت به کتانژانت تبدیل می‌شود.

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده $\inline cot45^{\circ}$ را حساب می‌کنیم.

نکته: دو زاویه که مجموعشان $\inline 90^{\circ}$ بشود، متمم همدیگر هستند.

با در نظر گرفتن یک مثلث قائم‌الزاویه با مشخصات بالا و نوشتن نسبت‌های مثلثاتی آن می‌بینیم:

$sin\alpha =cos\beta =a/c$

$cos\alpha =sin\beta =b/c$

$tan\alpha =cot\beta =a/b$

$cot\alpha =tan\beta =b/a$

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

زوایای قرینه

شکل زیر را در نظر بگیرید دو زوایه‌ی $\inline \large \alpha$ و $\inline \large -\alpha$ قرینه‌ی هم‌دیگر هستند در مورد نسبت‌های مثلثاتی دو زاویه‌ی قرینه داریم:

$sin(-\alpha )=-sin\alpha$

$cos(-\alpha )=cos\alpha$

$tan(-\alpha )=-tan\alpha$

$cot(-\alpha )=-cot\alpha$

مثال:

اگر $\inline tan35^{\circ}=0.7$ باشد حاصل کسر زیر را بیابید.

$\large \frac{sin145^{\circ}-2cos215^{\circ}}{cos125^{\circ}-sin(-55^{\circ})}$

مثال:

حاصل عبارت زیر را به دست آورید.

$\large 2cos(-\frac{\pi }{4})\times sin(\frac{2\pi }{3})+cot(\frac{8\pi }{6})\times tan(\frac{4\pi }{3})$

$\large 2cos(\frac{\pi }{4})\times sin(\pi -\frac{\pi }{3})+cot(\pi +\frac{2\pi }{6})\times tan(\pi +\frac{\pi }{3})$

$\large 2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times sin(\frac{\pi }{3})+cot(\frac{\pi }{3})\times tan(\frac{\pi }{3})$

$\large 2\times \frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\times \sqrt{3}$

$\large \frac{\sqrt{6}}{2}+1$

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثلثات بخش دوم نسبت‌های مثلثاتی برخی از زوایا

اول از همه لازم است که علامت نسبت‌های مثلثاتی در نواحی چهارگانه‌ی دایره‌ی مثلثاتی را دوره کنیم:

همانطوریکه از شکل‌های بالا میبینیم:

در ربع اول همه‌ی نسبت‌های مثلثاتی مثبت هستند.

در ربع دوم تنها سیسنوس مثبت است و باقی نسبت‌های مثلثاتی منفی هستند.

در ربع سوم تانژانت و هم‌چنین کتانژانت مثبت هستند و سینوس و کسینوس زاویه منفی هستند.

در ربع چهارم تنها کسینوس مثبت است و باقی نسبت‌های مثلثاتی منفی هستند.

می‌توانیم کلمه‌ی هستک را به خاطر بسپاریم، که هرحرفش نسبت مثلثاتی مثبت در ربع اول تا ربع چهارم دایره‌ی مثلثاتی است.

در جدول زیر خلاصه‌ی علامت نسبت‌های مثلثاتی در هر کدام از ربع‌های دایره‌ی مثلثاتی را می‌بینیم.

هم‌چنین نسبت‌های مثلثاتی برخی از زاویه‌ها را باید به خاطر داشته باشیم:

حالت اول:

ضرایب زوج $\LARGE \pi$

مثال: مقدار نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را حساب کنید.

$\large tan(\frac{23\pi }{3})= tan(8\pi -\frac{\pi }{3})=tan(-\frac{\pi }{3})=-\sqrt{3}$

مثال: مقدار نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را حساب کنید.

حالت دوم:

ضرایب فرد $\inline \LARGE \pi$

مثال:

نکته: دو زاویه که جمعشان $\inline \pi$ بشود، مکمل یکدیگر نامیده می‌شوند.

حالت سوم:

ضرایب فرد $\inline \LARGE \frac{\pi }{2}$

مثال:

یکبار دیگر با هم به مثال $\inline tan120^{\circ}$ برمی‌گردیم، این سری این زاویه را به شکل $\inline 90^{\circ}+30^{\circ}$ می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده $\inline -cot30^{\circ}$ را حساب می‌کنیم.

مثال:

زاویه را به شکل $\inline 270^{\circ}-45^{\circ}$ می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده $\inline cot45^{\circ}$ را حساب می‌کنیم.

نکته: دو زاویه که مجموعشان $\inline 90^{\circ}$ بشود، متمم همدیگر هستند.

با در نظر گرفتن یک مثلث قائم‌الزاویه با مشخصات بالا و نوشتن نسبت‌های مثلثاتی آن می‌بینیم:

زوایای قرینه

شکل زیر را در نظر بگیرید دو زوایه‌ی $\inline \large \alpha$ و $\inline \large -\alpha$ قرینه‌ی هم‌دیگر هستند در مورد نسبت‌های مثلثاتی دو زاویه‌ی قرینه داریم:

مثال:

اگر $\inline tan35^{\circ}=0.7$ باشد حاصل کسر زیر را بیابید.

مثال:

حاصل عبارت زیر را به دست آورید.

فاطمه جلالی

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

برای بستن روی ESC کلیک کنید

مثلثات بخش دوم نسبت‌های مثلثاتی برخی از زوایا

اول از همه لازم است که علامت نسبت‌های مثلثاتی در نواحی چهارگانه‌ی دایره‌ی مثلثاتی را دوره کنیم:

همانطوریکه از شکل‌های بالا میبینیم:

در ربع اول همه‌ی نسبت‌های مثلثاتی مثبت هستند.

در ربع دوم تنها سیسنوس مثبت است و باقی نسبت‌های مثلثاتی منفی هستند.

در ربع سوم تانژانت و هم‌چنین کتانژانت مثبت هستند و سینوس و کسینوس زاویه منفی هستند.

در ربع چهارم تنها کسینوس مثبت است و باقی نسبت‌های مثلثاتی منفی هستند.

می‌توانیم کلمه‌ی هستک را به خاطر بسپاریم، که هرحرفش نسبت مثلثاتی مثبت در ربع اول تا ربع چهارم دایره‌ی مثلثاتی است.

در جدول زیر خلاصه‌ی علامت نسبت‌های مثلثاتی در هر کدام از ربع‌های دایره‌ی مثلثاتی را می‌بینیم.

هم‌چنین نسبت‌های مثلثاتی برخی از زاویه‌ها را باید به خاطر داشته باشیم:

حالت اول:

ضرایب زوج

اگر زاویه‌ی ما طوری بود که زوایای زوج در آن وجود داشت می‌توانیم این زوایای زوج را حذف کنیم و در این حالت هیچ کدام از نسبت‌های مثلثاتی نیز تغییری نمی‌کنند. یعنی:

مثال: مقدار نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را حساب کنید.

مثال: مقدار نسبت‌های مثلثاتی زوایای زیر را حساب کنید.

حالت دوم:

ضرایب فرد

مثال:

نکته: دو زاویه که جمعشان بشود، مکمل یکدیگر نامیده می‌شوند.

حالت سوم:

ضرایب فرد

مثال:

یکبار دیگر با هم به مثال برمی‌گردیم، این سری این زاویه را به شکل می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده را حساب می‌کنیم.

مثال:

زاویه را به شکل می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده را حساب می‌کنیم.

نکته: دو زاویه که مجموعشان بشود، متمم همدیگر هستند.

با در نظر گرفتن یک مثلث قائم‌الزاویه با مشخصات بالا و نوشتن نسبت‌های مثلثاتی آن می‌بینیم:

زوایای قرینه

شکل زیر را در نظر بگیرید دو زوایه‌ی و قرینه‌ی هم‌دیگر هستند در مورد نسبت‌های مثلثاتی دو زاویه‌ی قرینه داریم:

مثال:

اگر باشد حاصل کسر زیر را بیابید.

مثال:

حاصل عبارت زیر را به دست آورید.

Share Article:

فاطمه جلالی

مثلثات بخش اول

مثلثات بخش سوم

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

ضرایب زوج $\LARGE \pi$

ضرایب فرد $\inline \LARGE \pi$

نکته: دو زاویه که جمعشان $\inline \pi$ بشود، مکمل یکدیگر نامیده می‌شوند.

ضرایب فرد $\inline \LARGE \frac{\pi }{2}$

یکبار دیگر با هم به مثال $\inline tan120^{\circ}$ برمی‌گردیم، این سری این زاویه را به شکل $\inline 90^{\circ}+30^{\circ}$ می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده $\inline -cot30^{\circ}$ را حساب می‌کنیم.

زاویه را به شکل $\inline 270^{\circ}-45^{\circ}$ می‌نویسیم، حالا باید به دو نکته توجه کنیم:

با در نظر گرفتن دو نکته‌ی گفته شده $\inline cot45^{\circ}$ را حساب می‌کنیم.

نکته: دو زاویه که مجموعشان $\inline 90^{\circ}$ بشود، متمم همدیگر هستند.

شکل زیر را در نظر بگیرید دو زوایه‌ی $\inline \large \alpha$ و $\inline \large -\alpha$ قرینه‌ی هم‌دیگر هستند در مورد نسبت‌های مثلثاتی دو زاویه‌ی قرینه داریم:

اگر $\inline tan35^{\circ}=0.7$ باشد حاصل کسر زیر را بیابید.