نسبت‌های مثلثاتی در مثلث قائم‌الزاویه

اگر زاویه‌ی ∝ را مطابق شکل زیر در نظر بگیریم و از محل برخورد زاویه با دایره‌ (نقطه‌ی P) خطی عمود بر محور افقی رسم کنیم به طوری‌که محور افقی را در نقطه‌ی Q قطع کند، مثلث قائم‌الزاویه‌ی OPQ تشکیل می‌شود. نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌ی  به صورت زیر تعریف می‌شوند:

علامت نسبت‌های مثلثاتی

حالا اگر دایره شعاع واحد داشته باشد به آن دایره‌ی مثلثاتی گفته می‌شود اگر از مبدا دایره‌ی مثلثاتی (نقطه‌ی\inline {O}') در جهت پادساعتگرد حرکت کنیم زاویه‌ی مثبت به وجود می‌آید. محور افقی محور کسینوس‌هاست و محور عمودی محور سینوس‌ها. اگر از نقطه‌ی \inline {O}' خطی به موازات محور سینوس‌ها رسم کنیم محور تانژانت و اگر از نقطه‌ی \inline {O}'' خطی موازی محور کسینوس‌ها رسم کنیم محور کتانژانت تشکیل می‌شود.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

اگر زاویه‌ی \inline 0^{\circ}<\alpha <90^{\circ} باشد در ربع اول قرار دارد. علامت نسبت‌های مثلثاتی زاویه در این ربع به صورت زیر هستند:

برای به دست آوردن تانژانت و کتانژانت زاویه کافی است پاره خط OP را ادامه بدهیم تا محور تانژانت و کتانژانت را قطع کند.

اگر زاویه‌ی \inline 90^{\circ}<\alpha <180^{\circ} باشد در ربع دوم قرار دارد. علامت نسبت‌های مثلثاتی زاویه در این ربع به صورت زیر هستند:اگر زاویه‌ی \inline 180^{\circ}<\alpha <270^{\circ} باشد در ربع سوم قرار دارد. علامت نسبت‌های مثلثاتی زاویه در این ربع به صورت زیر هستند:اگر زاویه‌ی \inline 270^{\circ}<\alpha <360^{\circ} باشد در ربع چهارم قرار دارد. علامت نسبت‌های مثلثاتی زاویه در این ربع به صورت زیر هستند

رادیان

مثال: اگر بدانیم زاویه‌ی \inline 45^{\circ},\alpha بوده و کمان مقابل آن \inline \large \frac{1}{8} محیط دایره باشد طول این کمان را با فرض آنکه شعاع دایره یک سانتی متر است به دست آورید.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

برای به دست آوردن طول کمان کافی است \inline \large \frac{1}{8} محیط دایره را به دست بیاوریم.

\large l=\frac{1}{8}\times 2\pi \times 1=\frac{\pi }{4}cmمثال:

اگر بدانیم زاویه‌ی \inline 45^{\circ},\alpha بوده و کمان مقابل آن \inline \frac{1}{8} محیط دایره باشد طول این کمان را با فرض آنکه شعاع دایره نیم سانتی متر است به دست آورید.

برای به دست آوردن طول این کمان هم کافی است \inline \frac{1}{8} محیط دایره را به دست بیاوریم.

\large l=\frac{1}{8}\times 2\pi \times \frac{1}{2}=\frac{\pi }{4}cm

نسبت طول کمان به شعاع دایره را در دو مثال قبل بررسی کنید.

نسبت طول کمان مقابل به زاویه‌ی مرکزی  به شعاع دایره در تمامی دایره‌ها با شعاع‌های مختلف عددی ثابت است و برابر با زوایه‌ی مرکزی \inline \alphaمی‌باشد.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

یک رادیان اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی‌ای است که طول کمان مقابل به آن با شعاع دایره برابر باشد.

\large \alpha =\frac{l}{r}=\frac{r}{r}=1 rad

مقادیر دو، سه، چهار، پنج و شش رادیان هم به شکل زیر هستند.

یک دور دایره بیشتر از شش رادیان است.

تبدیل درجه به رادیان

با نوشتن یک نسبت تناسب ساده بین محیط دایره و زاویه‌ی مرکزی مقابل به زاویه‌ی مرکزی به رابطه‌ی زیر میرسیم.

\large \frac{360^{\circ}}{D^{\circ}}=\frac{2\pi }{R}\rightarrow \frac{180^{\circ}}{D^{\circ}}=\frac{\pi }{R}

مثال:

زاویه‌ی \inline 60^{\circ} چند رادیان است؟

\large \frac{180^{\circ}}{D^{\circ}}=\frac{\pi }{R}\rightarrow \frac{180^{\circ}}{60^{\circ}}=\frac{\pi }{R}\rightarrow R=\frac{\pi }{3}

مثال:

زاویه‌ی \inline 202^{\circ} چند رادیان است؟

\large \frac{180^{\circ}}{D^{\circ}}=\frac{\pi }{R}\rightarrow \frac{180^{\circ}}{202^{\circ}}=\frac{\pi }{R}\rightarrow R=\frac{202\pi }{180}=\frac{101\pi }{90}

قطاع

به بخشی از دایره که از دو شعاع و یک کمان تشکیل شده یک قطاع گفته می‌شود.

مثال:

شعاع چرخ‌های یک تراکتور اسباب بازی ۱۰ و ۲.۵ سانتی‌متر است هنگامی که چرخ بزرگ \inline \large \frac{\pi }{2} می‌چرخد، چرخ کوچک چه زاویه‌ای را بر حسب درجه طی می‌کند؟

طول کمان طی شده توسط چرخ بزرگ:

\large L=R\times \beta =10\times \frac{\pi }{2}

طول کمان طی شده توسط چرخ کوچک:

\large l=r\times \alpha =2.5\times \alpha

از مساوی قرار دادن طول این دو کمان داریم:

\large 5\pi =2.5\times \alpha =2\pi

\large \frac{180^{\circ}}{D^{\circ}}=\frac{\pi }{R}

\large \alpha =2\pi \rightarrow 360^{\circ}

زوایای خاص

\inline 360^{\circ} \inline 270^{\circ} \inline 180^{\circ} \inline 90^{\circ} \inline 60^{\circ} \inline 45^{\circ} \inline 30^{\circ} \inline 0^{\circ} \inline \alpha
\inline 2\pi \inline \frac{3\pi }{2} \inline \pi \inline \frac{\pi }{2} \inline \frac{\pi }{3} \inline \frac{\pi }{4} \inline \frac{\pi }{6} ۰ \inline \alpha
۰ ۱- ۰ ۱ \inline \frac{\sqrt{3}}{2} \inline \frac{\sqrt{2}}{2} \inline \frac{1}{2} ۰ \inline sin\alpha
۱ ۰ ۱- ۰ \inline \frac{1}{2} \inline \frac{\sqrt{2}}{2} \inline \frac{\sqrt{3}}{2} ۱ \inline cos\alpha
۰ ت.ن ۰ ت.ن \inline \sqrt{3} ۱ \inline \frac{1}{\sqrt{3}} ۰ \inline tan\alpha
ت.ن . ت.ن . \inline \frac{1}{\sqrt{3}} ۱ \inline \sqrt{3} ت.ن \inline cot\alpha

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

گسترده‌ی مخروط

فرض کنید یک کلاه تولد داریم که به شکل زیر است:

در این مخروط شعاع قاعده، ارتفاع  و مولد هستند. حالا اگر مخروط را باز کنیم به شکل زیر در می‌آید.

مخروطی که باز شده شبیه به قسمتی (قطاعی) از یک دایره‌ی بزرگ‌تر است اما وقتی دقت می‌کنیم طول کمان این قطاع همان طول محیط قاعده‌ی مخروط است:

\large L=2\times \pi \times r

هم‌چنین شعاع قطاع برابر با مولد مخروط است:

پس می‌توانیم زاویه‌ی را به این ترتیب حساب کنیم:

\large l=r\times \alpha

\large L=l\times \alpha

\large 2\times \pi \times r=l\times \alpha

\large 2\times \pi \times \frac{r}{l}=\alpha

 

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو