پایه دهم ریاضی

16 آبان 1401 879

رسم معادلات درجه دو، بخش دوم

یادآوری

همانطوری‌ که در بخش اول مربوط به معادلات درجه‌ی دوم توضیح داده شد، معادله‌ی یک سهمی عمدتا به دو شکل زیر نوشته می‌شود:

الف) رابطه‌ی $\inline y=ax^2+bx+c$ که شکل کلی معادله‌ی یک سهمی است و در آن ضریب $\inline x^2$ یا همان a حتما مخالف با صفر است و هر سه ضریب a، b وc مقادیری حقیقی هستند.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

ب) شکل استاندارد معادله‌ی سهمی که به صورت $\inline y=a(x-h)^2+k$ می‌باشد، در این معادله نقطه‌ی (h,k) بیانگر راس سهمی است و خط x=h همان خط تقارن سهمی می‌باشد.

حال می‌خواهیم معادله‌ی یک سهمی را به طور دقیق پیدا کنیم. برای انجام این کار سه حالت زیر پیش می‌آید:

در ادامه نحوه‌ی به دست آوردن معادله‌ی سهمی در هر یک از سه حالت بالا را توضیح می‌دهیم:

حالت اول:

حالت دوم:

حالت سوم:

حال با حل چند مثال سه حالت گفته شده به طور کامل بررسی می‌شوند:

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال:

معادله‌ی سهمی زیر را پیدا کنید.

حل:

مختصات راس را داریم پس از رابطه‌ی $\inline y=a(x-h)^2+k$ استفاده می‌کنیم.

$\large y=a(x-h)^2+k$

$\large y=a(x+h)^2-2$

جاگذاری نقطه‌ی (۰,۷)

$\large 7=a(0+3)^2-2$

$\large a=1\rightarrow y=(x+3)^2-2$

مثال:

معادله‌ی سهمی زیر را پیدا کنید در صورتی که بدانیم عرض راس سهمی ۴- است.

حل:

مختصات دو نقطه‌ی دلخواه و عرض راس سهمی را داریم از رابطه‌ی $\inline y=ax^2+bx+c$ استفاده می‌کنیم.

ابتدا نقطه‌ی (۳-,۰) را در رابطه جاگذاری می‌کنیم:

$\large f(0)=-3$

$\large -3=a(0^2)+b(0)+c$

$\large \rightarrow c=-3$

سپس نقطه‌ی (۱,۰) را در رابطه جاگذاری می‌کنیم:

$\large f(1)=0$

$\large 0=a(1^2)+b(1)-3\rightarrow a+b=3$

$\large \rightarrow a=3-b$

با توجه به معلوم بودن عرض راس سهمی خواهیم داشت:

$\large -\frac{\Delta }{4a}=-4$

$\large -\Delta =4\times a\times 3-b^2=-4\times 4a$

$\large b^2-12a+16a=0\rightarrow$

$\large b^2=4a\rightarrow b^2=4(3-b)$

$\large b^2+4b-12=0\rightarrow (b+6)(b-2)$

از حل معادله‌ی بالا دو مقدار برای b محاسبه می‌شود:

$\large b=-6\rightarrow a=3-b=9$

$\large b=2\rightarrow a=3-2=1$

برای تعیین مقدار قابل قبول برای b باید به علامت راس سهمی دقت کنیم که منفی است چرا که راس سهمی سمت چپ محور طول‌ها قرار دارد.

$\large -\frac{b}{2a}<0,a>0\rightarrow b>0$

$\large b=2$

$\large y=x^2+2x-3$

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال:

معادله‌ی سهمی زیر را پیدا کنید.

حل:

مختصات صفرهای سهمی را داریم. از رابطه‌ی $\inline y=k(x-a)(x-\beta )$ استفاده می‌کنیم.

$\large y=k(x-\alpha)(x-\beta )$

$\large y=k(x-(-1))(x-3)$

$\large \rightarrow y=k(x+1)(x-3)$

جایگذاری نقطه‌ی (۴-,۱)

$\large -4=k(1+1)(1-3)\rightarrow k=1$

سهمی‌ها با توجه به علامت a وΔ یکی از شش حالت زیر را دارند:

۱)

۲)

۳)

۴)

۵)

۶)

مثال:

سهمی‌ای با معادله‌ی $\inline y=x^2-2x+2$ در چند نقطه به محور طول‌ها برخورد می‌کند؟

حل:

برای حل سوال لازم نیست شکل را رسم کنیم بلکه کافی است مقدار دلتای سهمی را به دست بیاوریم.

محور طول‌ها را قطع نمی‌کند →۰>Δ

با کمک شبیه ساز می‌توان شکل سهمی را رسم کرد که به شکل زیر است:

وضعیت دو سهمی و یا وضعیت سهی و خط نسبت به هم

مثال:

خط $\inline y=-ax-2$ بر سهمی $\inline y=x^2-2x+7$ مماس است اگر بدانیم محل برخورد این دو در ربع دوم محور مختصات است مقدار a چند است؟

ابتدا باید معادله‌ی تلقی خط و سهمی را بنویسیم.

$y=y\rightarrow x^2-2x+7=-ax-2$

از آنجایی‌که خط و سهمی در یک نقطه مماس هستند دلتای معادله‌ی تلاقی باید صفر باشد.

$\rightarrow x^2+(a-2)x+9=0$

$\Delta =0\rightarrow (a-2)^2-36=0$

با توجه به اینکه معادله‌ی تلاقی دو ریشه دارد مقدار x را در هر یک از دو حالت پیدا می‌کنیم تا حالت قایل قبول شناسایی شود.

$a-2=6\rightarrow a=8\rightarrow x^2+6x+9=0\rightarrow x=-3$

$a-2=-6\rightarrow a=-4\rightarrow x^2-6x+9=0\rightarrow x=3$

a=8 که x حاصل از آن در ربع دوم است پاسخ قابل قبول است.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

رسم معادلات درجه دو، بخش دوم

فاطمه جلالی

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ