تعریف سهمی

نمودار رابطه‌ی \inline y=ax^2+bx+cکه در آن \inline a\neq 0 و b,a و c هر سه اعدادی حقیقی هستند، را یک سهمی می‌گویند.

رابطه‌ی \inline y=x^2-4x+1.9 بیانگر رابطه‌ی یک سهمی است که در آن ضرایب a,b و c به ترتیب برابر با ۱،-۴ و۱.۹ هستند. شکل این سهمی نیز به صورت زیر است.

تشخیص سهمی بودن

طبق تعریف سهمی چنانچه ضریب \inline x^2 صفر باشد رابطه‌ی \inline y=ax^2+bx+c دیگر سهمی نیست!

مثال:

آیا \inline y=2(x-2)(x+7)-2x^2 یک سهمی را مشخص می‌کند؟

حل:

\large y=2(x^2+5x-14)-2x^2

\large y=2x^2+10x-28-2x^2

\large y=10x-28

بنابراین معادله‌ی داده شده بیانگر یک خط است و نه یک سهمی.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

رسم سهمی به کمک نقطه‌یابی

ساده‌ترین روش رسم سهمی آن است که با کمک چند نقطه که در معادله‌ی سهمی صدق می‌کنند آن را رسم کنیم.

مثال:

سهمی با معادله‌ی \inline y=-x^2+4x-3 را به کمک رو نقطه یابی رسم کنید.

با وصل کردن سه نقطه‌ی سهمی به شکل زیر می‌رسیم.

راس سهمی

نقطه‌ای که در آن روند صعودی یا نزولی بودن نمودار معکوس می‌شود راس سهمی نامیده می‌شود.

نمودار سهمی نسبت به راس آن تقارن دارد.

هر سهمی به فرم \inline y=a(x-h)^2+k که در آن \inline a\neq 0 باشد، راسی با مختصات (h,k) و خط تقارنی با معادله‌ی x=h دارد.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال:

در سهمی \inline y=(x+1)^2-2 ابتدا مختصات راس را مشخص کرده سپس سهمی را رسم کنید.

راس سهمی

\large y=a(x-h)^2+k

\large y=(x-(-1))^2-2

\large (-1,-2)

با توجه به آنکه راس سهمی را داریم و سهمی نیز به علت مثبت بودن ضریب a، نقطه‎ی مینیمم دارد شکل سهمی به صورت زیر می‌شود: (در انتهای این درسنامه رسم دقیق شکل سهمی را نیز یاد می‌گیریم.)

مثال:

با کمک روش مربع کامل راس سهمی \inline y=x^2-6x+8 را پیدا کرده و سپس آن را رسم کنید.

\large y=(x-h)^2+k

\large y=x^2-2hx+h^2+k

\large y=x^2-6x+8

\large -2h=-6\rightarrow h=3

\large y=(x-3)^2-1

با داشتن نقطه‌ی (۱-,۳) به عنوان راس سهمی و با دانستن اینکه سهمی نقطه‌ی مینیمم (علامت ضریب \inline x^2 مثبت است) دارد شکل سهمی به صورت زیر می‌شود.

می‌خواهیم معادله‌ی کلی سهمی با فرم \inline y=ax^2+bx+c را به شکل مربع کامل بنویسیم.

\large y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})

\large (x^2+\frac{b}{a}x+...)\rightarrow \frac{b}{a}x=2x\times ?\rightarrow ?=\frac{b}{2a}

\large y=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}+...

\large y=a(x+\frac{b}{2a})^2+...

برای تبدیل کردن معادله‌ی کلی سهمی ابتدا از a فاکتور گرفتیم تا ضریب \inline x^{2} یک بشود. سپس دیدیم که ضریب x که طبق اتحاد مربع کامل برابر با دو برابر x در یک ضریب است برابر با \inline \frac{b}{a} شده است؛ که به این نتیجه می‌رسیم ضریب برابر با \inline \frac{b}{2a} است. به این ترتیب اتحاد مربع کاملی که شامل دو جمله‌ی \inline x^2+\frac{b}{a}x باشد به شکل \inline (x+\frac{b}{2a})^2 است. اما می‌دانیم که این اتحاد دارای جمله‌ی ثابت \inline \frac{b^2}{4a^2} نیز هست. پس لازم است که این ضریب را به رابطه‌ اضافه و کم کنیم. (وقتی یک عدد ثابت را به یک رابطه‌ی جبری اضافه کنیم و سپس کم کنیم گویا آن ضریب در عبارت تاثیری نمی‌گذارد!)

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

پس رابطه‌ی معادله‌ی سهمی به فرم مربع کامل به شکل زیر است:

\large y=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\rightarrow y=a(x+\frac{b}{2a})^2+a(-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})

\large y=a(x+\frac{b}{2a})^2+a(\frac{-b^2+4ac}{4a^2})\rightarrow a(x+\frac{b}{2a})^2+(\frac{-b^2+4ac}{4a})

طبق رابطه‌ی \inline y=a(x-h)^2+k مختصات راس سهمی برابر است با:

راس منحنی: \inline (\frac{-b}{2a},(\frac{-b^2+4ac}{4a})){\color{DarkBlue} }

بنابراین در معادله‌ی سهمی با شکل کلی \inline y=ax^2+bx+c برای محاسبه‌ی راس سهمی کافی است \inline \frac{-b}{2a} را حساب کنیم.

مثال:

راس سهمی \inline y=x^2-6x+8 را پیدا کرده و سپس آن را رسم کنید.

\large x=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3

\large y=3^2-6\times 3+8

\large y=-9+8=-1

در سهمی‌ای که (h,k) مختصات راس آن باشد x=h خط تقارن سهمی است.

مثال:

در سهمی \inline y=3x^2-18x+23 مختصات راس و محور تقارن را مشخص کنید. این سهمی ماکزیمم دارد یا مینیمم؟

دو نقطه از سهمی که دارای عرض یکسانی باشند نسبت به خط تقارن سهمی قرینه‌ی یکدیگرند.

مراحل رسم یک سهمی به صورت زیر است:

مثال:

سهمی \inline y=x^2-2x+2 را رسم کنید.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو