فشار در شاره‌ها

فشار برای تمام حالات ماده تعریف شده است؛ اما در بحث شاره‌ها اهمیت ویژه‌ای دارد. یکی از ویژگی‌های مهم شاره‌ها این است که مقاومت قابل توجهی در برابر نیروی اعمال شده به صورت موازی با سطح وجود ندارد. مولکول‌های شاره به آسانی جریان می‌یابند؛ تا آن نیروی افقی را تحمل کنند. نیرویی که عمود بر سطح اعمال می‌شود؛ شاره را فشرده یا منبسط می‌کند.

شاره‌ای را به چگالی ثابت، مطابق شکل زیر، در نظر بگیرید. فشار ته ظرف برابر است با فشار اتمسفر به اضافه‌ی فشار ناشی از وزن شاره. فشار ناشی از شاره برابر است با وزن شاره تقسیم بر مساحت. وزن شاره برابر است با جرم آن ضربدر شتاب گرانشی.

از آنجایی که چگالی ثابت است؛ می‌توان وزن را بر حسب چگالی نوشت:

\large w=mg=\rho Vg=\rho Ahg

فشار در ته ظرف برابر است با فشار اتمسفر به اضافه‌ی وزن شاره تقسیم بر مساحت:

\large P=P_0+\frac{\rho Ahg}{A}=P_0+\rho hg

به طور کلی، فشار در عمق شاره‌ای با چگالی ثابت برابر است با فشار اتمسفر به اضافه‌ی فشار ناشی از وزن شاره:

\large P=P_0+\rho hg

که در آن، P فشار در یک عمق مشخص، P۰ فشار اتمسفر، \inline \large \rho چگالی شاره، h عمق و g شتاب گرانشی است.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال ۱

سد نشان داده شده در شکل، ۵۰۰ متر عرض دارد و عمق آب در آن ۸۰ متر است.

الف) فشار میانگین ناشی از آب را بیابید.

ب) نیروی وارد شده بر سد را محاسبه کنید.

پاسخ:

الف) فشار میانگین ناشی از وزن آب، فشار در نصف عمق آن یعنی ۴۰ متر است.

\large P=\rho gh

\large P=(40m)(10^3kg/m^2)(9.8m/s^2)

\large P=392kPa

ب) مساحت سد:

\large A=80m\times 500m=4\times 10^4m^2

\large F=PA=(3.92\times 10^5N/_{3^2})(4\times 10^4m^2)

\large F=1.57\times 10^{10}N

اصل برنولی

اصل برنولی، اصلی در مورد چگونگی ارتباط سرعت یک شاره با فشار آن است:

در یک جریان افقی شاره، نقاطی با سرعت شاره بالاتر، فشار کمتری نسبت به نقاط با سرعت شاره کمتر دارند. بنابراین، در یک لوله افقی آب که قطر آن تغییر می‌کند، مناطقی که آب در آنها با سرعت بیشتری حرکت می‌کند؛ تحت فشار کمتری نسبت به مناطقی هستند که آب در آنها آهسته‌تر حرکت می‌کند.

آهنگ شارش حجمی شاره

آهنگ شارش حجمی شاره، حجم شاره‌ای است که در واحد زمان از سطح مقطع معینی عبور می‌کند. بنابراین، آهنگ شارش حجمی مقدار حجمی را که در واحد زمان از یک سطح می‌گذرد؛ اندازه گیری می‌کند. معادله آهنگ شارش حجمی به صورت زیر است:

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

واحد آهنگ شارش حجمی در SI، \large m^3/_s است.

حجم بخشی از شاره درون لوله را می‌توان به صورت V=AL نوشت؛ که A سطح مقطع شاره و L طول آن ناحیه از شاره است.

\large \frac{V}{t}=\frac{AL}{t}=A\frac{L}{t}=آهنگ شارش حجمی

 که \inline \large \frac{L}{t} طول حجم شاره تقسیم بر زمانی است که طول می‌کشد تا شاره آن طول را طی کند؛ پس \inline \large \frac{L}{t} سرعت شاره است. بنابراین، می‌توانیم \inline \large \frac{L}{t} را با v در معادله‌ی قبلی جایگزین کنیم:

Av=آهنگ شارش حجمی

معادله پیوستگی

از آنجایی که مایعات تراکم ناپذیرند؛ باید حجم خود را هنگام عبور از لوله حفظ کنند. این بدان معناست که حجم مایعی که در یک زمان معین درون لوله جریان می‌یابد؛ باید با حجم مایعی که در همان مدت زمان از لوله خارج می‌شود برابر باشد. برای مثال، اگر در یک ساعت ۲m۳ آب به داخل لوه‌ای که در حال حاضر پر از آب است؛ پمپاژ کنید، می‌بایست ۲m۳ در طی زمان یکسان از درون لوله به بیرون جریان یابد.

بنابراین، آهنگ شارش حجمی، برای یک شاره تراکم ناپذیر، در هر نقطه در امتداد یک لوله با آهنگ شارش حجمی شاره در هر نقطه دیگر در طول لوله برابر است:

\large \frac{v_1}{t_1}=\frac{v_2}{t_2}

\large A_1v_1=A_2v_2

طبق این معادله، اگر مساحت A یک بخش از لوله کاهش یابد، سرعت v مایع در آن قسمت باید افزایش یابد؛ تا حاصل Av ثابت باقی بماند. این بدان معناست که شاره‌ها وقتی به یک قسمت باریک لوله میرسند؛ سرعت خود را افزایش می‌دهند؛ و وقتی به قسمت وسیع‌تری از لوله می‌رسند؛ سرعت خود را کاهش می‌دهند.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال ۲

فرض کنید آب درون لوله‌ای با قطر ۱ سانتی متر با سرعت شارش ۲m/s در جریان است. اگر در قسمتی از لوله، قطر به ۳ سانتی متر افزایش یابد، سرعت جدید شاره را بیابید.

پاسخ:

\large A_1v_1=A_2v_2

\large \pi (d_1/2)^2v_1=\pi (d_2/2)^2v_2

\large d_{1}^{2}v_1=d_{2}^{2}v_2

\large v_2=0.22m/s

 

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو