مفهوم نابرابری

به شکل زیر دقت کنید، همانطوری‌که میبینیم دو کفه‌ی ترازو در یک سطح نیستند و کفه‌ای که در آن وزنه‌ی a قرار گرفته سنگین‌تر است، حال می‌خواهیم این نابرابری میان وزن را به زبان ریاضی بنویسیم:

برای دو عدد حقیقی a و b تنها یکی از سه حالت ،\inline \large a=b,a> b و یا \inline \large a< b وجود دارد.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال:

با توجه به برابری‌ها یک نابرابری برای هر مورد بنویسید.

در حل این سوال برای آنکه مقایسه راحت‌تر شود یک سمت تساوی را با استفاده از عملیات ریاضی مثل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم به گونه‌ای ساده‌سازی می‌کنیم که تنها دارای یک متغیر بشود، به شیوه‌ی حل دقت کنید:

با توجه به توضیح برای آنکه سمت راست تساوی فقط شامل a باشد، به دو سمت تساوی دو واحد اضافه می‌کنیم، با توجه به اینکه باید پنج واحد به b اضافه کنیم تا با a برابر شود، نتیجه می‌گیریم که a بزرگ‌تر از b است.

در این مثال برای آنکه سمت راست تساوی فقط حاوی m باشد، دو سمت تساوی را بر عدد ۲  یعنی ضریب m تقسیم کرده‌ایم.

چنانچه a و b دو عدد حقیقی باشند، به‌طوری‌که a از b کمتر نباشد:

مثال:

با توجه نواحی مشخص شده در محور یک نابرابری برای هر مورد بنویسید.

در نوشتن نابرابری توجه کردن به توپر یا توخالی بودن دایره‌هایی که اول و آخر بازه هستند اهمیت زیادی دارد. اگر دایره پر باشد، مانند دایره‌ی بالای عدد ۱۲- در مثال دوم یعنی آن عدد هم در بازه وجود دارد، اما اگر توخالی باشد مثل دایره‌ی بالای عدد ۱۲، یعنی x شامل خود عدد ۱۲ نیست.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

خاصیت نابرابری‌ها

مثال:

ابتدا به دو طرف نامساوی زیر عدد ۷۰ را اضافه کنید، سپس مجددا نامساوی را بررسی کنید.

در ادامه از دو سمت نامساوی اولیه ۱۰ واحد کم کنید و آن را بررسی کنید.

خاصیت ۱: اگر دو طرف یک نابرابری را با عددی مثل c جمع کنیم، نابرابری همچنان برقرار است؛ یعنی اگر \inline \large a> b آن‌گاه: \inline \large a+c> b+c

مثال:

دو طرف نابرابری زیر را در عدد +۷ ضرب کنید و نتیجه را بررسی کنید.

در ادامه دو سمت نابرابری اولیه را در -۲ ضرب کنید و آن را بررسی کنید.

خاصیت ۲: اگر دو طرف یک نابرابری را در عدد مثبتی مانند c ضرب کنیم، نابرابری همچنان برقرار است؛ یعنی اگر \inline \large a> b آن‌گاه: \inline \large ac> bc

خاصیت ۳: اگر دو طرف یک نابرابری را در عددی منفی مانند c ضرب کنیم \inline \large (c< 0)، جهت نابرابری عوض می‌شود؛ یعنی اگر \inline \large a> b آن‌گاه:\inline \large ac< bc

مجموعه جواب نامعادله

در نابرابری \inline \large 5x-3> 12 که شامل متغیر x است و درجه‌ی متغیر آن برابر با یک است؛ نامعادله‌ی یک‌ مجهولی درجه‌ی اول می‌گوییم.

برای حل نابرابری ابتدایی‌ترین روش جاگذاری کردن عددهای مختلف به جای متغیر نابرابری است.

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو

مثال:

با قرار دادن مقادیر داده‌شده در جدول به جای متغیر x برقراری یا برقرار نبودن نابرابری را بررسی کنید.

همانطوریکه از مثال حل شده متوجه می‌شویم حل نامعادله با روش جاگذاری کردن اعداد روشی زمان‌بر است و در حل نامعادله‌های پیچیده‌تر گاهی اوقات رسیدن به جواب دقیق با این روش ممکن نیست.

مجموعه جواب نامعادله

مجموعه مقادیری که به ازای آن‌ها نامعادله \inline \large 5x-3> 12 به نابرابری درست تبدیل شود، مجموعه جواب نامعادله است.

مثال:

با کمک خواص گفته‌شده برای نابرابری‌ها نامعادله‌ی \inline \large 5x-3> 12 را حل کنید.

مرحله‌ی اول: به دو طرف نامعادله ۳ واحد اضافه می‌کنیم.

مرحله‌ی دوم: دو طرف نامعادله را بر ضریب x یعنی ۵ تقسیم می‌کنیم.

مثال:

نامعادله‌ی \inline \large \frac{2}{3}(x+7)-\frac{x}{4}\leq \frac{1}{2}(3-x)+\frac{x}{6} را حل کرده و مجموعه جواب آن را بنویسید.

مرحله‌ی اول: نامعادله را در مخرج مشترک تمامی کسرها یعنی عدد ۱۲ ضرب می‌کنیم.

\large 12\times \frac{2}{3}(x+7)-12\times \frac{x}{4}\leq 12\times \frac{1}{2}(3-x)+12\times \frac{x}{6}

\large 8\times (x+7)-3\times x\leq 6\times (3-x)+2\times x

\large 8\times x+56-3\times x\leq 18-6x+2\times x

\large 8\times x+56-3\times x+6x-2x\leq 18

\large 9\times x+56\leq 18

مرحله‌ی دوم: از دو طرف معادله ۵۶ واحد کم می‌کنیم.

\large 9\times x+56-56\leq 18-56

\large 9\times x\leq -38

مرحله‌ی سوم: دو طرف معادله را بر ضریب x یعنی ۹ تقسیم می‌کنیم.

\large 9\times \frac{x}{9}\leq -\frac{38}{9}

\large x\leq -\frac{38}{9}

D= {x\in \mathbb{R}|x\leq -\frac{38}{9}}

 

مشاهده و انجام آزمایش در سایت آزتو